Наши решения

Моделирование - один из важнейших этапов проектирования любого технического объекта, позволяющий заменить или значительно сократить этапы наладки и натурных испытаний. Роль моделирования особенно важна, когда натурные испытания дороги или опасны, как, например, испытания космических аппаратов, химических и ядерных реакторов и других сложных объектов. В качестве примера на рис. 1 показаны виртуальные испытания магистрального тягача с целью подтверждения его основных эксплуатационных качеств.

Рис. 1. Виртуальные испытания магистрального тягача с целью подтверждения его основных эксплуатационных качеств

Под моделированием будем понимать процесс, состоящий в выявлении основных свойств исследуемого объекта, построении моделей и их применении для прогнозирования поведения объекта.

Модель – создаваемое человеком подобие изучаемых объектов, в качестве моделей могут выступать макеты, изображения, схемы, словесные описания, математические формулы, карты и т.д.

С помощью моделирования можно исследовать динамические системы – такие физические системы, состояние которых изменяется во времени и которые описываются си¬стемами дифференциальных уравнений. Исследование динамической си¬стемы сводится к решению системы дифференциаль¬ных уравнений, т.е. к определению всех выходных функций при раз¬личных входных воздействиях.

Различают два вида модели¬рования динамических систем: физическое и математическое. При фи¬зическом моделировании модель отличается от объекта только мас¬штабами, а происходящие в ней процессы имеют ту же природу, что и процессы объекта. При математическом моделировании модель от¬личается от объекта тем, что процессы в ней и в объекте имеют разную физическую природу, но описываются одинаковыми уравнениями.

Как при физическом, так и при математическом моделировании необходимо составить уравнения моделируемой системы. Оба типа моделей дают возможность решать дифференциальные уравнения. Однако математическая модель позволяет осуществить варьирование параметров. В настоящее время используются три способа решения математической модели: электрическое модели¬рование, структурное моделирование и имитационное моделирование.

При электрическом моделировании предполагается использование моде¬лей, составленных из набора сопротивлений, емкостей и индуктивностей таким образом, что каждому физическому элементу оригинала соответствует элемент модели-аналога. Однако у таких моделей име¬ются существенные недостатки: сравнительно большая погрешность воспроизведения исходных уравнений, трудность задания ненулевых начальных условий, сложность воспроизведения нелинейностей.

Структурное моделирование, или моделирование на компьютере, заключа¬ется в том, что в соответствии с математическим описанием иссле¬дуемой системы выбирают определенный набор блоков и соединяют их таким образом, чтобы поведение полученной системы описывалось уравнениями, аналогичными исходным.

Одним из наиболее мощных средств математического модели-рования, применяемых при анализе функционирования и синтезе структур сложных систем, является имитационное моделирование. Имитационное моделирование в широком смысле включает процесс создания логико-математической модели, опи¬сывающей структуру и поведение исследуемой системы и обычно принимающей форму машинной программы, а также проведение экспериментов на модели с помощью компьютера для получения данных о функционировании системы в течение определенных интервалов времени.

Главным недостатком, проявляющимся при машинной реализации метода имитационного моделирования, является то, что решение, полученное при анализе имитационной модели, всегда носит частный характер, так как соответствует фиксированным элементам структуры, алгорит¬мам поведения и значениям параметров, начальных условий и воздействий внешней среды. В связи с этим для полного анализа процесса, а не только для получения отдельного значения приходится многократно воспроизводить имитацион¬ный эксперимент, варьируя исходные данные.

В современной науке существуют два основных подхода к построению математических моделей систем. Первый их них – это широко распространенный классический подход, который базируется на раскрытии явлений, происходящих внутри рассматриваемой системы.

Построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения массы, энергии, кинетического момента и т.д.) для описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим или электрическим.

Второй подход основывается на рассмотрении системы как некоторого объекта, у которого доступными для наблюдения являются только входные и выходные переменные. Его часто называют кибернетическим моделированием (или метод «черного ящика») . При таком подходе изучение системы сводится к наблюдению за ее реакциями при известных воздействиях, поступающих на вход системы. Модель системы при этом строится как описание некоторого преобразователя вектора входных переменных в вектор выходных переменных. Кибернетическая модель сохраняет только подобие векторов входных и выходных переменных оригинала и модели, физический смысл и внутренняя структура объекта полностью игнорируя.

Кибернетические модели позволяют адекватно описывать исследуемые процессы лишь в ограниченной области пространства переменных, где осуществлялось их варьирование, и носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих в технической системе.

Рассмотрим характеристики математической модели.

Адекватность. Принято говорить, что модель адекватна оригиналу, если она верно отражает интересующие исследователя свойства оригинала и может быть использована для предсказания его поведения.

Выделяют два способа оценки адекватности модели, один из них используется, если имеется возможность сравнить модель и объект, другой – если такой возможности нет.

Первый способ представляет собой разовую процедуру, основанную на сравнении данных, характеризующих реальный объект, с результатами вычислительного эксперимента, проведенного на модели. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, где под точностью понимается количественный показатель, характеризующий степень различия модели и изучаемого явления.

Второй способ представляет собой перманентную процедуру, основанную на использовании верификационного подхода. Такую процедуру используют, если нет возможности проверить модель экспериментально (например, объект находится в стадии проектирования либо эксперименты с объектом невозможны).

Для проверки модели могут применяться разные приемы, в частности:

• проверка физического смысла (соблюдение физических законов);
• проверка размерности и знаков;
• проверка пределов;
• проверка тренда, т.е. тенденции изменения выходных переменных в зависимости от внутренних и внешних переменных и т.п.

Экономичность. Эта характеристика математических моделей определяется двумя основными факторами:

• затратами машинного времени на «прогон» модели;
• затратами оперативной памяти, необходимой для размещения модели (особенно актуально для систем реального времени).

Универсальность. Универсальностью моделей определяется область их возможных применений. Можно строить модели для различных экспериментов (например, детерминированные и стохастические) или для разных режимов работы. Обычно универсальность достигается включением в модель большого числа внутренних параметров, что отрицательно влияет на экономичность.

Устойчивость. Это способность модели сохранять адекватность при исследовании системы во всем возможном диапазоне рабочих нагрузок, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует. Разработчик вынужден прибегать к методам, локальным тестам и руководствоваться здравым смыслом.

Чувствительность. Очевидно, что устойчивость является положительным свойством модели. Однако если изменение входных воздействий или параметров модели не отражается на значениях выходных переменных, то польза от такой модели невелика. В связи с этим возникает задача оценить чувствительности модели к изменениям рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Обычно такую оценку проводят по каждому параметру в отдельности. Она основана на том, что диапазон возможных изменений параметра известен. Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной.